01
“第五种运算”：模形式
模形式是一类具备特定对称性和增长条件的复变函数。据传,数学家M.Eichler曾在一次访谈中说过:数学有五种基本运算——加、减、乘、除、模形式。此说或出于杜撰,以讹传讹,但不妨借作这份导言的引子,简单谈谈模形式的由来和地位。
模形式的研究始于19世纪,发展迄今,模形式或自守形式的相关理论从几何、算术等方面汲取了源源不绝的动能,终在20世纪后半叶汇为Langlands纲领。从20世纪末以来,这方面涌现的新势头包括但不限于
几何Langlands纲领:将数域(如)代换为代数曲线的函数域,曲线定义在或有限域上,并将自守形式代换为某类-模或-进反常层;和高能物理的联系,譬如散射振幅与模形式的关联,以及量子场论所催生的量子Langlands纲领;渊源于同伦论的拓扑模形式,一样关乎理论物理,同时还是J.Lurie发展导出代数几何学的动机之一。要而言之,Langlands纲领基于其深刻、广博和开放,充分展现了作为数学中一门大一统理论的威力,左右逢源,其道大光。所谓“第五种运算”,良有以也。
02
如何学习模形式?
广博是模形式理论的突出特征,需要学者凭精湛的识力来统合。从背景知识衡量,除了大学本科的基础,特别是复变函数论,模形式还要求对拓扑与几何工具能运用自如,尤其是代数几何。这些事实自然引向了一个问题:如何学习模形式?为此,又不能不先处理另一个问题:为何要学习模形式?
之前约略介绍过模形式的内禀美感与意义,从应用角度看,它对解析数论、代数数论、算术代数几何等领域又是绕不过的基本功,差别仅在横看成岭侧成峰。但审美毕竟是主观选择,对于一门理论的鉴赏贵在自得,否则外人目为前沿者,于己终是苦役。另一方面,应用的需求又因人而异。本书的适用对象包括本科中高年级的读者,对数学的兴趣未必定型,也没必要过早定型。面对铺天盖地的背景知识、指数增长的书单,是否值得投入精力来学习模形式及相关理论?基于两个理由,笔者的建议是肯定的。
承接本科基础许多有志学术的学生在完成必修课程后,往往拔剑四顾心茫然,不知路在何方。在这一关口的走向如何,关系到学校师资和同侪砥砺,这两点条件并非处处能够达标。机遇一旦错失,或者陷入消极,或者沦入基础数学研究,实则近似于工厂流水线的重复劳动。笔者参与研究生面试工作多年,对此不无感触.选题是这一节点的决定性因素。模形式由于四通八达,案例具体,又能从相对低的起点切入,进可攻退可守,当然是自修或组织读书会的上选。活化既有知识通过浸淫于一门彻上彻下、勾连四方的学问,能有效组织被本科课程分割承包的知识,进而将数学还原到浑然一体的面貌。眼界决定品味,所关非小,即便只为强化记忆,这也是最好最自然的途径。那么如何学习模形式?初步定义只需复变函数论和线性代数,不超出大二或大三的知识范围,而且由此已经能进行许多有趣的计算。于是从经典理论起步,步步为营的学习是一种合理的选择。但战术要服从于战略,一旦画地自限,前述学习理由便沦为虚文。在此建议初学的读者,无须畏惧模形式背后的巨大理论,应当以此为契机,敢于登堂入室,敢于纵浪江湖。这是学习过程中的一大乐事。
如果对模形式只求宏观的了解,并接触最富代表性的一些例子,宜先参阅相关综述或短小精悍的教科书,例如,J.P.Serre颇受推崇的讲义ACourseinArithmetic。《模形式初步》（李文威著.北京：科学出版社,.6）虽名“初步”,总归要寻求一定的条贯,当然不如短文痛快。大小精粗之间有分寸存焉,本书拿捏如何,还要由读者评价。
03
《模形式初步》的旨趣、风格和限度
本书目的是在本科中高年级或研究生低年级的知识范围内铺陈模形式的基础,进而勾画相关的数论和几何面向。起点是复变函数论的经典视角。如此安排,是希望在表述必要的定义和性质之外,还能兼顾解析数论和算术几何方向的学习需求。背景知识虽以本科阶段的数学专业课程为主,偶尔超纲势不可免,这是因为我们面对的是一门难以划界的数学,称之为学科或领域都不准确,更能达意的比喻兴许是一片浩瀚的星云。
由于背景知识和篇幅的双重约束,本书基本避开了自守表示论的视角和算术几何,后者只在末尾的第十章有惊鸿一瞥。职是之故,对Langlands纲领仅是点到为止。同理,本书也不讨论半整权模形式(例如级数)或迹公式。本科课程较少触及的一些基础知识另置于附录。
虽然遗珠不少,本书依然谋求完整性,期望读者一旦通达主要内容,便能顺利承接模形式/自守形式的进阶教材或论文。正文将会穿插对这些材料的引用或推荐。所以本书并不是为国际上其他入门教材准备的辅导书,更不是学前班。此一定位导致的特色包括:
在模形式的定义中容许一般的级,包括非同余子群,乃至非算术子群;严肃对待经典理论所涉及的双曲几何学;对双陪集和Hecke算子给出较细致的梳理;对尖点形式的Fourier系数和-函数收敛范围给出比一般教材更佳的估计;在探讨Eichler-志村同构和构造Galois表示时,容许所有2的权。如此一来自然要求广泛的知识面,而且无法完整证明所有断言,这大概是进阶教材的共性。撰写模形式教材一直是笔者心愿,直接动力则是年秋季学期在中国科学院大学雁栖湖校区开设的本科选修课“模形式导论”,60学时。全书近半内容脱胎自课堂讲义,然后又经反复改写扩充,层累痕迹显然。从开始备课到全书定稿,费时不超过三年,讲授仅止一轮,草草急就四百余页。锤炼太少而错讹太多,料不能免于前辈们的责难。不知我者,谓我何求,望读者理解于万一。
不讳言,本书的明显缺陷还包括实例偏少、练习偏少、数论面向讨论不足、延伸主题意犹未尽,以及缺少算法或数学软件的讨论等,关于最后一点,谨推荐开源软件SageMath、相关文档和以此为基础的教科书ModularForms,aComputationalApproach(可在作者W.Stein的主页wstein.org浏览)。笔者当初在组织相关内容时颇觉棘手,固然是篇幅和野心之间的张力使然,另一方面也是学识所限,但学者从不能以“超纲”来自我开脱,只好勉力前行。倘若读者诸君能在文字间隙里读出当时的踟蹰,则可谓知音矣。
04
《模形式初步》阅读指南
本书出现的数学名词一律汉译,名词索引中将附上英文。人名以拉丁字母转写为主,但中、日、韩、越人名则使用汉字。
练习穿插于正文间,目的是希望读者随读随做,或者查阅相关材料。少部分练习的结果为后续段落所需,这类习题或者是平凡的,或者附有充分的提示。
各章开头有简短介绍,目的仅仅是帮助读者获取全局的理解,远非该章的要点总目。附录部分集中介绍了全书需要的一些技术、语言或者符号,各附录或可独立阅读,但绝不能替代扎实的学习。
各章纲要
章节不尽是按直线编排,但前后总有逻辑联系,其中第四章和第八章与其他部分的连接相对弱。跳跃式阅读是可行的,但宜有师长或配套材料指路。考虑到教学和阅读的体验,少部分内容有所重复。具体制订讲授、讨论或自学方案时,有几种可能的取舍方案如下,供读者参考。
(1)若只谈级为SL(2,)的模形式,则第一章略去§1.6,双曲几何仅择必要部分。第二章略去§§2.5—2.6。第三章只讲∞附近的复结构,以及§3.3与§3.8的N=1情形.第四章只讲§4.4和所需背景。第五章只讲§§5.5—5.6和所需背景。第六章全部略过.第七章处处假设N=1。第八章随意。第九章和第十章略过。
(2)若只谈同余子群的模形式,则第一章略去§1.6,双曲几何仅择必要部分。第三章略去§§3.4—3.6。第四—七章自行取舍,但建议初学略过§§6.4—6.5,而且关于Hecke算子部分可只讲Tp,d的定义和交换性。第八章随意。对算术几何感兴趣者宜留意第九章和第十章,特别是§10.5收录的一些应用。
(3)若要谈任意级的模形式,但侧重解析面向,则第一—五章全讲,第六章和第七章视情形斟酌,但§§6.4—6.5同样可先略过。第八章至少介绍§8.1和§8.7。第九章和第十章且先略过。
(4)对于以模形式、模曲线和Galois表示为主攻方向的受众,建议全讲。
至于附录部分,请读者按需求定制阅读方式。
在从讲稿向书籍转化的过程中,对一些内容不可避免地进行了精炼与抽象化。课堂讲授时宜对相关部分进行反向的解码。
本文摘编自《模形式初步》（李文威著.北京：科学出版社,.6）一书“导言”，有删减，标题为编者所加。
现代数学基础丛书;
ISBN-7-03--9
责任编辑:胡庆家贾晓瑞
本书主要探讨模形式的经典面向,包括Hecke算子和L-函数的相关理论。最后两章简介模曲线和模形式的联系。附录提供了所需的分析、几何和数论知识。本书可作为高等学校数学专业的高年级本科生或研究生教材,也可作为自学之用。
（本文编辑：刘四旦）
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